Question

平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(X)=e^x(x>0)的图像上的动点，该图像在P处的切线l交y轴于点M，过点P

平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f(X)=e^x(x>0)的图像上的动点，该图像在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是

Answer 1

解:

设p点得坐标为（a,b），那么，b=e^a
过p点的直线L的斜率为e^a，过p点垂直于L的
为-1/(e^a)
因此，直线L方程为y-b=(x-a)*e^a。
当x=0时，y=b-a*e^a=(1-a)*e^a，故，要分两种情况，0<a≤1和a>1。
①当0<a≤1时，|ON|=(1-a)*e^a，
垂直于直线L的
为，y-b=-(x-a)/(e^a)，此时，x=0，y=e^a+a/(e^a),
也即是，|OM|=e^a+a/(e^a)。
t=(|OM|+|ON|)/2=(1-a)*e^a+e^a+a/(e^a)=2e^a+a/(e^a)-a*e^a，把a当做变量，对t求导，
那么，t'=2e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}-(e^a+a*e^a)=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}
由于，0<a≤1,那么，t'≥0，故t为增函数，那么t的最大值就是，当a=1时t的值，
此时，t=e+1/e
②当a>1时，此时，N点得纵坐标为负值。故，|OM|=e^a+a/(e^a)，|ON|=(a-1)*e^a，
那么，t=(|OM|-|0N|)/2=2e^a+a/(e^a)-a*e^a，
t'=e^a-a*e^a+(e^a-a*e^a)/{e^(2a)}<0，也就是说，此时，t为
，故t的最大值也是，当a=1时t的值，

综上所述，t的最大值就是（e+1/e）。

追问

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