Question

圆锥体积计算公式推导过程（不要高等数学，要详细）

圆锥体的体积计算公式我知道，但是它的推导方法是什么呢？我只是一个初中生，对高等数学里面那些一法通百法通的微积分等方法没有任何的理解，请回答的高手们尽量用稍微容易点的方法...谢谢了！制作圆锥体与正方体然后以实物进行称重的方法我是知道的——但这并不能解决我的疑惑：那个三分之一是从何而来？莫非是精确的？还是说是相当于3.14的约值？棱锥体的体积计算公式推导也是可以的——毕竟圆锥体就等于有无数个边的棱锥体... 如果能提供其来历就更好了。只要我能看得懂，就绝对给分，先放100分，如果有好答案，最多会加300分。先在这里谢谢帮忙解疑释惑的朋友！PS：请不要直接从某些网页复制粘贴，然后出现“如图1：”然后一片空白....这是种不负责任的行为....

Answer 1

其实我们所熟知的很多几何体的长度，面积，体积公式都是用微积分定义并推导出的。比如线段的长度，实际定义就是曲线积分；长方形面积，我们知道是长乘以宽，但这个意义是什么，我们并没有讲，实际上还是积分，立体的体积一是一样。 下面简单说明积分的思想，假设有一个圆锥体，我用刀平行底面切它，得到一个圆，越靠近底面，圆越大，越靠近顶点，圆越小。我们做这样一个近似，我用一些扁的圆柱来模拟一个圆锥，大的圆柱放在下面，小的圆柱放在上面，这样得到一个近似的“圆锥”。显然用有限个圆柱摞起来，得到的几何体要比圆锥差那么一点，但是当有限个圆柱趋于无穷个圆柱时，这个合成的几何体就越来越接近于圆锥了。 在积分的计算中，我们这样想，想像圆柱无限的扁，几乎成了平面圆，然后我们把这无限个圆柱的体积累加起来，再用极限的原理处理，就得到了圆锥的体积。 如果你感兴趣，可以追问我具体的计算过程，你就知道1/3是怎么来的了。

Answer 2

给你种初等的方法
设圆锥高H，底面半径为R，底面积S=π*R^2
用平行于底面的平面把它切成n片，则每片的厚度为H/n
可把每片近似看做底半径为k/n*r的圆柱
其体积为(π*k/n*r)^2*h/n,对k=1到n求和得
S=πR^2H*(1/6/n^3)*n*(n+1)*(2n+1)
令n=无穷大，则S=1/3πR^2H

Answer 3

设它们的底面半径为r，高为h。
圆柱体体积：πr^2h（柱体体积等于底面积乘上高）
圆柱体表面积：2πr^2+2πrh=2πr(r+h)（底面积加侧面积）
圆锥体体积：1/3πr^2h
圆锥表面积：πr^2+1/2π2rl=πr(r+l)（l为母线长，等于根号下r的平方加h的平方）

Answer 4

第一个人解答的…数列加和是个大问题，你得把数列求和给说一遍，不然怎么得到piR^2H后面那些？初中生够呛