一道线性代数题

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2017-04-11 · 小乐图客,小乐数学,小乐阅读等软件作者
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aa^T显然是对称阵,且有n-1个特征值0,和1个非0特征值是1(因为单位向量a,满足迹tr(aa^T)=1)
因此根据特征值的定义,得知必有|E-aa^T|=0,从而立即选A

如果不懂特征值的性质,也可以用排除法来做这道题:

a为单位列向量,则不妨设a=(0,...,1,0,...,0)^T

则aa^T只有在对角线上有个1,其余元素都为0

从而|E-aa^T|=0 (E-aa^T是对角阵,且对角线上有一个元素为0)

E-aa^T不可逆


E+aa^T也是对角阵,但对角线上有个元素是2,其余都是1,因此|E+aa^T|=2,E+aa^T可逆

类似的,得知
E+2aa^T可逆
E-2aa^T可逆

从而排除BCD,只能选A
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