Question

线性代数：增广矩阵的秩的行列式等于0说明了什么？

Answer 1

系数矩阵是3×2矩阵，前两行线性无关，所以系数矩阵的秩是2。
增广矩阵是3×3矩阵，其秩大于等于系数矩阵的秩，小于等于3。
方程组有解，则增广矩阵的秩也是2，所以增广矩阵的行列式等于0。
行列式等于4k-15=0，所以k=15/4。
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另一解法：未知量只有2个，根据前两个方程可得x1=5/3，x2=-1/3，代入第三个方程得k=15/4。

Answer 2

解：
法一：
方程为二元一次方程，而方程组有3个方程。要使方程有解，必须其中一个方程是由另外两个线性组合，也就是三个方程线性相关。故秩=0
因为方程组有解，所以增广矩阵行列式=0
1 -1 2
1 2 1
3 k k

r2-r1，r3-3r1得：
1 -1 2
0 3 -1
0 k+3 k-6

所以-(k+3)=3(k-6)
即 -k-3=3k-18
-4k=-15
k=15/4

法二：
x1-x2=2
x1+2x2=1
由这两个方程解得x1=5/3，x2=-1/3
然后带入3x1+kx2=x2，解得k=15/4