
微信转账的支付记录被删除该怎么查看
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2020-03-14
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The moon rises from the Tianshan Mountains and the vast sea of clouds.
The wind blows for tens of thousands of miles to pass Yumen pass.
欧拉公式的证明
欧拉公式的证明_欧拉公式推导过程
这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式,其中麦克劳林公式为泰勒公式的一种特殊形式,在 的展开式中把x换成±ix。
欧拉公式的证明_欧拉公式推导过程
所以
由此:#FormatImgID_0# , ,然后采用两式相加减的方法得到: , 。这两个也叫做欧拉公式。将 中的x取作π就得到:这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
欧拉公式推导过程
用拓朴学方法证明欧拉公式
尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假 设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么F-E+V=2.试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。
证明 如图15(图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的):
(1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。
(2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1.
(3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
(4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。
(5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。
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证明 如图15(图是立方体,但证明是一般的,是“拓朴”的):
(1)把多面体(图中①)看成表面是薄橡皮的中空立体。
(2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1.
(3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,F′和E′各增加1,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
(4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC.这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。
(5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF.这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。
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