Question

已知二维随机变量的联合概率密度，求已知X=x（x>0）的条件下，Y的条件概率密度

已知二维随机变量的联合概率密度，求已知X=x（x>0）的条件下，Y的条件概率密度fx（x）的积分怎么解？

Answer 1

对于二维随机变量的联合概率密度f(x,y),具有
∫(上限+∞,下限-∞) ∫(上限+∞,下限-∞) f(x,y)dxdy=1 这样的性质
在这里f(x,y)= ke^(-x-3y) x>0,y>0
0 其它
所以
k *∫(上限+∞,下限0) e^(-x) dx *∫(上限+∞,下限0) e^(-3y)dy=1
显然
∫ e^(-x) dx = -e^(-x)+C 代入上下限+∞和0
得到∫(上限+∞,下限0) e^(-x) dx =1
同理
∫e^(-3y)dy= -1/3 *e^(-3y)+C 代入上下限+∞和0
得到∫(上限+∞,下限0) e^(-3y)dy= 1/3
故k/3=1,
所以k=3