Question

高等数学，积分

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Answer 1

∫(cost)^4dt=1/4∫(1+cos2t)^2 dt=1/4∫dt+1/4∫2cos2tdt+1/4∫cos2t*cos2tdt
=1/4∫dt+1/4∫cos2td(2t)+1/8∫(cos4t+1)dt
=1/4t+1/4 sin2t+ 1/8t+1/32sin4t+C
定积分= [3/8*pi/4+1/4sinpi/2+1/32sinpi - 0]*16/3
原式= [3/8*pi/4+1/4sinpi/2+1/32sinpi - 0]*16/3 +1/3
= pi / 2+ 5/3

-----------------函数(cost)^4, 0到 pi / 2单调递减，它在区间0到pi/2的定积分，
由 ∫(0到pi/2)(cost)^(n)=(n-1)/(n)*(n-3)/(n-2)*……*3/4*1/2*pi/2, n为偶数。
∫(0到pi/2)(cost)^(4)=3pi / 16

Answer 2

L: x+ y = 1
I = ∫<L> (x+y)ds = ∫<L>ds = √2