Question

初2数学证明题的技巧和思想

初2数学证明题的技巧和思想

Answer 1

问题一 ：教学目的和要求有哪几方面？
（1）要教给学生的基础知识（2）要让学生掌握的基本技能；（3）解决实际问题的能力；（4）个性品质和思想观念。
（1）基础知识
例如：“全等三角形”教学中，应注意讲清全等三角形的概念，课本中是用“重合”这个很形象的语言来描述的，所以学生并不难理解，但往往以对此重视不够，体会不到它的重要性。因为这个概念搞不清楚，为影响到“对应”概念的理解，而“对应”又是不加定义的概念，它在解决三角形，以及相似三角形高中学习集合理论都有直接关系。因此，应该把“全等形”、“对应”这两个概念讲清楚。“全等形”：包括“形相同”、“大小等” 这两个方面，“对应”按顺序找对应边对应角。关键是确定对应顶点。——方法、规律。
例：直线的“倾斜角”内涵包括：“直线向上方向”“X轴的正方向”“最小角”“正角”
Y 所以需引导学生考虑：“一条直线在直角坐标当中的位置是如何
L 确定的？”（ ）再引入直线的方向如何确定（由下到上）
X 由此产生对“倾角”的需求。

O 一个正确的概念需经过多次反复方能形成，为此，对比在这里
是重要的。（如图一）
对比方法：正误对比，新旧对比，相似对比，渗盯导向对比，综合对比等。
（2） 基本技能
技能的解释：技能是在个体身上固定下来的自动化的行动方式，是对一系列行动方式的概括。
通俗地说：是按照一定的程序与步骤来完成的动作，技能包括心智技能（内隐）与动作技能（外显）。
例1：解一元一次方程的一般步骤是：
去分母——去括号——移项——合并同类项——化成最简方程ax=b(a≠0)的形式
——方程两边都除以未知数的系数——得出方程解
例2：平面几何语言是立体几何语言的基础，平面几何入门教学，在进行几何语言表述训练中，关于线段延长线的画法，可以教为学生正确运用下述规范化的几何作图语言：
(1) 延长线段（AB）
(2) 延长线段 (3) 延长 (4) 反向延长线段
例3：立体几何中计算空间的角和距离的问题概略性推理：
构造 计算 结论
空间计算问题 平面问题 平面问题的解 空间问题的解
认定 三角形
[练习1]：概括出“数学归纳法证芹源明”的一般步骤。
（3）基本方法
中学教学的基本方法一般可分为两类：
一类：逻辑思维方法——是研究问题和思考问题的方法。如观察、实验、演绎、归纳、类比、化归、转换、抽象、概括等方法。
另一类：解题方法——是处理某类具体问题的方法。如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、图象、分析、综合、谬、比较、分类、平移、参数、映射等方法。
例如：复数教学中，基本方法是化归法——复数问题转化为实数问题来解决：
代数表示：z=a+bi ——代数问题
复数
三角表示：z= r（ ）——三角问题
实数问题
问题 几何表示：向量 ——几何问题
复数模的性质
例2立体几何中求棱柱的侧面积的教学中，需要渗透以下教学方法：
直棱柱—矩形
求S棱柱侧是将棱柱的侧面积沿一条侧棱剪开后展现在一个平面上侧棱柱—平行四边形
这里必须讲清：
(1)不展开侧面能否计算直棱柱的侧面积？——只须用不完全归纳法计算若干个矩形面积的和。
（2）为什么要展开侧面积？——运用化归方法，将空间问题转化为平面问题。
（3）为什么能展开？展开后为什么是矩形？——培养学生的推理能力。
斜棱柱应讲清：
（1）课本上证法是什么方法？——不完全归纳法。
（2）能否对斜棱柱的侧面积公式进行推导，转化为直棱柱面积计算公式？——可以，只须通过直截面，嫌喊态将 斜棱柱分成再会两截，然后在拼成一个以直截面为底的直棱柱，便可用S直术S斜，这里又体现了化归思想和多面体中的割补法（平几中，平行四边形面积求得方法的迁移）

[思考1]：中学数学教学大纲对培养学生数学能力的要求是什么？（见大纲）
（1）运算能力
[思考2]：高中阶段的运算能力有哪些方面？又有哪些要求？
要求迅速、正确、合理的完成下列算：
a. 数与式的各种代数运算;初等超越运算;几何运算;分析运算;概率与统计运算等.
。
[思考3]： “数列中有那些运算要求？
（2）逻辑思维能力
学生的数学能力表现在诸多方面，而思维能力则是学生智力结构的核心。
思维：直觉思维、逻辑思维、非逻辑思维、逻辑思维能力等。
[思考4]：怎样培养学生的逻辑思维能力？
1，在运算能力方面，欲达"正确迅速"目的，就需在各类运算中概括出相应的运算规律，将其归纳为一般形式。
•思想方法 整式乘法
整式积 多项式
因式分解
•思维特点：——它是一咱逆向思维训练，具有发散性思维特征，同时也具有探索性。
•解决因式分解的一般模式
提取公因式
整式积 运用公式 分组分解 多项式

十字相乘
教学要求有不同的层次，知识点也有主次之分。弄清每项具体内容或知识点在整个教材中的地位和作用，才能分清主次、明确重点和难点。
例1：“一元二次方程”
重点和主要内容：求根公式、制列式、根与学数关系
例2：平几中就图形之间的内在联系而言；三角形是基本的图形，其它平面图形都可以转化为三角形来研究。
就应用而言：三角形知识在后继教学和生产实际中也经常用到。
就培养学生逻辑思维能力，推理论证能力而言：三角形一章担负着十分重要的奠基任务——它是平面几何教学的主要重点内容。
例6：立体教学中直线与平面一章为重点内容
线面关系：掌握，会用线面垂直关系判定
▲ 重视学科内部和学科之间的联系
学科内部的新旧衔接：小学与初中，初中与高中，例数的概念（小学与初中）运算律、结合律、交换律、平行概念
特别应重视知识上的“连接点”“间断点”“深化点”的处理。
将代数与几何，三角与立几中应用辅助角解立几问题，可以使数学知识相互渗透，互相促进，培养综合运用数学知识的能力。
点是什么？怎样抓住关键，突出重点，分散难点？教学时应注意什么？
第四，加强知识的应用
如作为等比数列的应用安排了一个近几年与人们日常生活有关的购物分期付款的例题;作为等差数列的应用，在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；此外在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等。
5，教学中应注意的几个问题
（1）把握好教学要求
由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担。
事实上，学习是一个不断深化的过程。作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高。最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次。
为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方。例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧；
(2) 有意识地复习和深化初中所学内容
与现行中学课本一样，新课本由于课时较紧等多种原因．在教学内容方面基本上也是直线编排的，对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会。而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要。本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。例如：
在等差数列、等比数列的通项公式和前n项和的公式中，涉及a1、 an、 n、 d、Sn几个量之间的关系，我们常常要通过将公式变形用其中的已知量来表示未知量。在这过程中，应有意识地复习等式的变形，提醒并及时纠正在变形中容易出现的错误。在根据有关公式和已知条件求未知量(比如求某一项时)，常常要列出方程或方程组，然后求解。在这过程中，让学生认识我们的问题实际上是解一个方程或方程组，然后分析其中哪些是已知量，有几个末知量，能不能求解，怎样求解。通过这种有意识的分析，不仅复习了解方程和方程组的知识。而且了解了它的应用，培养了用方程或方程组解决问题的意识；
(3) 适当加强本章内容与函数的联系
适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步。比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；
本内容与函数的联系涉及以下几个方面。
1．数列概念与函数概念的联系。
相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数。从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。
但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值。基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质。数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式。而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)。这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。
2．等差数列与一次函数、二次函数的联系。
从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项an是关于项数n的一次函数式。于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。
此外，首项为a1、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：
即当 时，Sn是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题。如可以根据二次函数的图象了解Sn的增减变化、极值等情况。
（4）注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力
综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。
() 在符号使用上与国家标准一致
为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N＝{0，l，2．3，……}，即自然数从O开始。这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭。但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集，并记为N+。