Question

一个高数问题

f(x,y) , g(x,y) 具有连续的偏导数，且f(x,y)dx + g(x,y)dy 是某个函数 u(x,y) 的全微分，
为什么 f(x,y), g(x,y) 满足 ∂g/∂x-∂f/∂y=0

Answer 1

用格林公式解释：
∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=∮Pdx+Qdy
[公式描述]公式中D为分段光滑的曲线L围成的闭区域，
函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数。

因为f(x,y)dx + g(x,y)dy 是函数 u(x,y) 的全微分，
即du(x,y)=f(x,y)dx + g(x,y)dy
构造一条环路曲线
(曲线的起u(x1,y1)终u(x2,y2)点重合)
u(x1,y1)-u(x2,y2)=0 (可微函数u(x,y)必连续)
对du(x,y)作环路积分
u(x1,y1)-u(x2,y2)=∮du(x,y)=∮f(x,y)dx+g(x,y)dy = ∫∫(∂g(x,y)/∂x-∂f(x,y)/∂y)dxdy=0
因为环路位置和起终点位置都是任意选取的，可以选在任意小的一个区域来反映u(x,y)，f(x,y)，g(x,y)在该区域的性置。所以必有∂g(x,y)/∂x-∂f(x,y)/∂y=0处处成立。