Question

如图，在三角形abc中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两个部分，求三角形abc各边的

如图，在三角形abc中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两个部分，求三角形abc各边的长

Answer 1

设此等腰三角形腰长为a，则AB=AC=a，底边长BC=b，中线长度BD=m，从A点、D点分别向底边BC做垂线，交BC于E、F。根据题意，列出如下方程式：
① AB+AD+BD=15，BC+CD+BD=12，即：a+1/2a+m=15，b+1/2a+m=12；
② AB+AD+BD=12，BC+CD+BD=15，即：a+1/2a+m=12，b+1/2a+m=15。
因为三角形ABC是等腰三角形，所以AE垂直平分BC，而D点是AC的中点，DF垂直BC，所以F平分EC。在直角三角形BDF中，BD^2=BF^2+DF^2，由上可知，BD=m，BF=BE+EF=1/2BC+1/4BC=3/4b，另外在直角三角形CDF中，DF^2+FC^2=CD^2，由上得知：FC=1/2EC=1/4BC=1/4b，CD=1/2AC=1/2a，得到DF^2=CD^2-FC^2=(1/2a)^2-(1/4b)^2，带入BD^2=BF^2+DF^2中可得：③ m^2=(3/4b)^2+(1/2a)^2-(1/4b)^2，即： m^2=1/4a^2+1/2b^2。
从①可得：m=15-3/2a，a-b=3，即b=a-3，把此带入③可得：(15-3/2a)^2=1/4a^2+1/2(a-3)^2，整理后得到：1.5a^2-42a+220.5=0，解此方程得到：a=7或a=21（不合题意，舍去），由此可得b=a-3=4，此等腰三角形的三边长分别为7，7，4。
从②可得：m=12-3/2a，b-a=3，即b=a+3，把此带入③可得：(12-3/2a)^2=1/4a^2+1/2(a+3)^2，整理后得到：1.5a^2-39a+139.5=0，解此方程得到：a=4.28或a=21.72（不合题意，舍去），由此可得b=a+3=7.28，此等腰三角形的三边长分别为4.28，4.28，7.28。
结论：此三角形三边的长分别为7，7，4 或4.28，4.28，7.28。