Question

高中数学不等式。已知x>0,y>0,且x+y=1.(1+1/x)(1+1/y)的最小值是

我知道答案是9
想问下我自己算的为什么不对？
我的把x+y=1带到1/x和1/y里，就变成了（1+y/x）（1+x/y）然后用均值不等式求个最大值的出来是4
哪里出了错

Answer 1

首先你用均值不等式求出来的应该是最小值为4.
其次你把x+y=1代到1/x和1/y里得到的（1+y/x）（1+x/y）应该是1/x和1/y的乘积，根本就不是原式，怎么会对呢？

这里其实你直接吧原式展开得到原式=1+1/x+1/y+1/（xy）=1+2/(xy)，由你的计算知道1/(xy)最小值为4，所以1+2/(xy)最小值为9.即可得原式最小值为9。

Answer 2

不是方法错了，而是你自己算的过程错了，你的方法带出来的结果应该是（2+y/x）（2+x/y），展开得到4+2（x/y+y/x）+1，再采用均值不等式，就得到了最小值9，并且取等号的时候，是x=y=1/2。楼上的方法，我表示没看懂，1/x+1/y+1/xy=2/xy，我实在没懂，求楼上大神指教

Answer 3

前面有个1，应该是2+后面的数 楼上直接把1/x+1/y通分下就可以得到，x+y/xy,x+y=1