齐次线性方程组AX=0仅有零解得充分必要条件是什么?
只有零解时,R(A)=n
特别当A是方阵时 |A|≠0。
有非零解时,R(A)<n
特别当A是方阵时 |A|=0。
如果m<n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后,不全为零的行数r(即矩阵的秩)小于等于m(矩阵的行数),若m<n,则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元,这个n-r个自由变元可取任意取值,从而原方程组有非零解(无穷多个解)。
扩展资料:
齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
当非齐次线性方程组有解时,解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解;解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。
但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时,不一定原方程组有唯一解或无穷解,事实上,此时方程组不一定有 ,即不一定有解。
参考资料来源:百度百科——齐次线性方程组
2024-04-02 广告
只有零解时,R(A)=n 特别得 当A是方阵时 |A|≠0。 有非零解时,R(A)<n 特别得 当A是方阵时 |A|=0。
齐次线性方程组解的判定定理编辑
定理1
齐次线性方程组 有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组 仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组解的结构编辑
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组 的一个解,则kx也是它的解,其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组 的两个解,则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组 ,若r(A)=r<n,则 存在基础解系,且基础解系所含向量的个数为n-r,即其解空间的维数为n-r。[4]
求解步骤
1、对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵;
2、若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束;
若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤:
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组;
4、选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,进而写出通解.
性质
1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n,方程组有唯一零解。
齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地,方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。