Question

齐次线性方程组AX=0仅有零解得充分必要条件是什么？

Answer 1

只有零解时，R(A)=n

特别当A是方阵时 |A|≠0。

有非零解时，R(A)<n

特别当A是方阵时 |A|=0。

如果m<n(行数小于列数，即未知数的数量大于所给方程组数），则齐次线性方程组有非零解，否则为全零解。

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

扩展资料：

齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。

但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

参考资料来源：百度百科——齐次线性方程组

Answer 2

只有零解时,R(A)=n 特别得 当A是方阵时 |A|≠0。 有非零解时,R(A)<n 特别得 当A是方阵时 |A|=0。

齐次线性方程组解的判定定理编辑

定理1

齐次线性方程组  有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

推论

齐次线性方程组  仅有零解的充要条件是r(A)=n。

齐次线性方程组解的结构编辑

齐次线性方程组解的性质

定理2 若x是齐次线性方程组  的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

定理3 若x1,x2是齐次线性方程组  的两个解，则x1+x2也是它的解。

定理4 对齐次线性方程组  ，若r(A)=r<n，则  存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。[4] 

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：

3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.

性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 3