Question

若A，B满足AB＝0，证明A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关

Answer 1

首先，A和B都是非零矩阵，要不然这个题没有意义了。
(1)
先证A的列向量组线性相关：
我们把A用列向量组写成：A=[A_1,A_2,..., A_n], 这里每一个A_i表示的是A的第i列，现在A可以看成一个元素为A_i的行向量。
B还是写成(b_ij)， b_ij表示B的(i,j)位置
然后用分块矩阵乘法算AB=[ A_1b_11+A_2b_21+...+A_nb_n1, A_1b_12+A_2b_22+...+A_nB_n2, ..., A_1b_1n+A_2b_2n+...+A_nb_nn]=0
因为B是非零的，所以B有一列是不全为零的，不妨设位第一列，所以从上面的式子里得到：
A_1b_11+A_2b_21+...+A_nb_n1=0, 而且b_11,b_21,..., b_n1不全为0，这就说明A_1,A_2,...,A_n是线性相关的
(2)
你可以类似地证明B的行向量组是现行相关的
只需要把B用行向量写出来：B=[B_1// B_2// ...// B_n] 这里B_i是B的第i行，//表示换行， 所以现在B是一个元素为B_i的列向量，然后再做AB=0
剩下的推理跟（1）里是一样的

Answer 2

前提：A和B是非零矩阵，否则就不谈相关与无关了。

先假设矩阵A：m x n   矩阵B：n x s

AB = 0   一般思考方向是 Ax=0  从齐次方程组入手。Ax=0 有n-r(A)个线性无关的解。

也就是说B的列向量构成的向量组 可由这 n-r(A)个解构成的向量组  表示-——> r(B)<= n-r(A)

得到  r(B) + r(A)<= n

又因为A、B矩阵非零，即 0 <  r(A) < n   0 <  r(B) < n

得到这个结论之后要回归到相关、无关的定义上。

对于n列的A，秩小于n，列线性相关

对于n行的B， 秩小于n，行线性相关

对于m行的A，秩虽然小于n，但是不知道与m的大小关系无法判断（可能相关/无关），B同理。

Answer 3

∵AB=0
∴r（A）+r（B）≤n
∵A≠0 B≠0
∴r（A）＜n，r（b）＜n
∵三秩相等（矩阵的秩=其行向量组的秩=其列向量组的秩）
∴A的列向量组的秩＜n
B的行向量组的秩＜n
∴A列相关 B行相关

Answer 4

Ｂ的行向量组线性相关

Answer 5

这条件，推不出来吧