可导函数的导函数不一定连续?为什么?不是有导数极限定理吗? 10

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教育小百科达人
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知道大有可为答主
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反例:函数f(x):

当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);

当x=0时,f(x)=0

这个函数在(-∞,+∞)处处可导。

导数是f'(x):

当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

当x=0时,f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在,所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续。

扩展资料:

如果f是在x0处可导的函数,则f一定在x0处连续,特别地,任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上,存在一个在其定义域上处处连续函数,但处处不可导。

魏尔斯特拉斯函数   是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数,其在R上处处连续,但处处不可导。

其中  ,  是正奇数,且  满足

一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,如果  的值比  附近所有各点的函数值都大,我们说  是函数y=f(x)的一个极大值;如果  的值比  附近所有各点的函数值都小,我们说  是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点:

1.极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2.函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3.极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4.函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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数学刘哥
2018-04-02 · 知道合伙人教育行家
数学刘哥
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乙等奖学金,本科高数上97高数下95,应用数学考研专业第二

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导函数可能有有振荡间断点,这个不连续的有反例。
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祁易Ic
2019-12-23 · TA获得超过240个赞
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函数可导,就说明导函数在该点有定义,所以只要可导,导函数就不存在无定义的点,
如果原函数连续,那么导函数要么连续,要么含有第二类间断点,不会是第一类
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百度网友9f9861a
2019-12-24 · TA获得超过1984个赞
知道小有建树答主
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您的理解有错误,连续不一定可微分,譬如绝对值y=|x|连续但不能微分,但是,一旦可微分则代表图形必须连续。
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熊熊恨0I9
2019-11-18 · 贡献了超过157个回答
知道答主
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如何证明函数可导呢?函数的连续性和可导性,数学讲解。

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