Question

多元函数微分学那里为什么二阶偏导连续会有对x的偏导然后对y偏导等于对y偏导然后对x偏导呢？？如图中

黄线用到的。。

Answer 1

你在学习高等数学吧。你问的这个问题是课本上的基本定理，课本没有做严谨的证明。
二元函数（或者说多元函数）对一个自变量求偏导的时候将另一个自变量看作常数，不求导。例如f(x,y)=(x*y)^2，先对y求偏导等于2x^2*y,再对x求偏导等于4xy。同理，如果你先对x求偏导得到2x*y^2，再对y求偏导得到4xy.
我说明白了吗

Answer 2

偏导可以交换顺序。先对x导然后对y导，与先对y导然后对x导是相等的。证明如下：

函数u对x的偏导是[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx在dx趋向零的极限
得到的结果是个新函数，设为f(x,y)=limit{ [u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}
那么f(x,y+dy)=limit{ [u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx}
将f(x,y)关于y偏导的定义为[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy在dy趋向零的极限
[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy={limit[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx-[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}/dy
=[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)-u(x+dx,y)+u(x,y)]/(dx*dy)

如果按定义先算函数u对y的偏导，然后对x偏导，结果一样

追问

也十分感激你。。刚才采纳了个最佳了

追答

没关系，弄明白了就行。我不为这个。

追问

谢谢啦。。。好人一生平安！