Question

线性代数 已知 A,B为n阶方阵，且B^2=B,A=B E， 证明A可逆，并求其逆。

A=B+E

Answer 1

^由于A^2=(B+E)^2=B^2+2B+E=B+2B+E=3A-2E，可改写为3A-A^2=2E，即(3E-A)A=2E，也就是(1/2)(3E-A)A=E，所以A可逆，且其逆矩阵为(1/2)(3E-A)。

要证明A可逆，即证明E+B乘以某个矩阵等于E，为了用上B=B2，因此乘的那个矩阵要含有B，当然也要含有E。

证明：由于（B+E）（B-2E）=B2+B-2B-2E，又B=B2，

故（B+E）（B-2E）=-2E

这样(B+E)

B−2E/−2

＝E，于是A可逆

且A−1＝

B−2E/−2

＝2E−B/2

扩展资料：

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

参考资料来源：百度百科-线性代数

Answer 2

由于A^2=(B+E)^2=B^2+2B+E=B+2B+E=3A-2E，可改写为3A-A^2=2E，即(3E-A)A=2E，也就是(1/2)(3E-A)A=E，所以A可逆，且其逆矩阵为(1/2)(3E-A)。