Question

n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是r（A）<n, 为什么？

在r(A)＝n时有没有可能有一组非零解？

Answer 1

这个好像是定理吧，若r(A)=r=n，原方程组仅有零解，即x=0，若r(A)<n，则有无穷多个解。

Answer 2

先问问什么是r(A),r(A)是A矩阵的秩，秩是什么，秩是最高阶非0子式的阶数。
(1). 若齐次线性方程Ax=0有非0解，说明|A|=0(克拉默法则), 最高阶的子式都为0了，那r(A)一定小于n（若不懂得话再去理解一下秩的概念）
(2). 若齐次方程组Ax=0有唯一解，说明|A|不等于0, 最高阶子式都不为0，说明A的秩为n,r(A)=n

Answer 3

首先齐次线性方程组必有零解，其次要存在非零解的话，说明该方程组解的个数不唯一。根据定理R（A）=R（A,0）＜n时，方程有无数个解（解不唯一），n也就是未知数的个数。即R（A）＜n