Question

求积分中值定理的证明

在证明过程中能不能不用最小最大值定理？

Answer 1

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt<a,x+Δx> = ∫f(t)dt<a,x> + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
= Φ(x) + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt<x,x+Δx>
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0 时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得
f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε
由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)& amp;lt;f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立，因此得到
f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε
由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到
f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε
即|μ-f(x)|<=ε
由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，
Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证。

由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a)+C
即C=-F(a)
得到
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>，得到
Φ(b)=∫f(x)dx<a,b> = F(b)-F(a)
至此命题得证。
你可以查一下参考书 那里更加详细望采纳 谢谢 有任何不懂 请加好友 一一解答