Question

急 一道线性代数求代数余子式之和

答案是 负十二分之五 完全不懂怎么做，求大神给出思路和解析

Answer 1

因为行列式中每一行元素与自身的代数余子式乘积之和为行列式本身, 每一行元素与其它行元素的代数余子式对应乘积之和为0, 因此
1 ) 第一行元素0,1,0,0与自身的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为A12,其等于|A|;
第二行元素0,0,1/2,0与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/2*A13,其等于0, 即是A13=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/3*A14,其等于0, 即是A14=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第一行元素的代数余子式A11,A12,A13,A14对应乘积之和为1/4*A11,其等于0, 即是A11=0;
2 ) 第一行元素0,1,0,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为A22,其等于0;
第二行元素0,0,1/2,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/2*A23,其等于|A|, 即是|A|=1/2*A23;
第三行元素0,0,0,1/3与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/3*A24,其等于0, 即是A24=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第二行元素的代数余子式A21,A22,A23,A24对应乘积之和为1/4*A21,其等于0, 即是A21=0;
3) 第一行元素0,1,0,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为A32,其等于0, 即是A32=0;
第二行元素0,0,1/2,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/2*A33,其等于0, 即是A33=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/3*A34,其等于|A|, 即是|A|=1/3*A34;
第四行元素1/4,0,0,0与第三行元素的代数余子式A31,A32,A33,A34对应乘积之和为1/4*A31,其等于0, 即是A31=0;
4 ) 第一行元素0,1,0,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为A42,其等于0;
第二行元素0,0,1/2,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/2*A43,其等于0, 即是A43=0;
第三行元素0,0,0,1/3与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/3*A44,其等于0, 即是A44=0;
第四行元素1/4,0,0,0与第四行元素的代数余子式A41,A42,A43,A44对应乘积之和为1/4*A41,其等于|A|, 即是A41=4|A|;

因此 |A|的全部代数余子式之和为
A12+A23+A34+A41=|A|+2|A|+3|A|+4|A|=10|A|, 而|A|=-1/24,
所以|A|的全部代数余子式之和为
10*(-1/24)=-5/12.

追问

可以手写上传为图片吗？百度看得晕了

追答

Answer 2

先写A11+A12+A13+A14
它的和相当于行列式
1 1 1 1
0 0 1/2 0
0 0 0 1/3
1/4 0 0 0的值 为-1/24
其余的类似用1 1 1 1替换掉对应的行求出行列式的值 最后得
-1/24-1/12-1/8-1/6=-5/12

追问

你的方法也很好，谢谢