Question

关于直线方程的一道题

请举例说明一下这个公式,
还有"不含l2"是什么意思?

Answer 1

l1:A1x+B1y+C1=0
l2:A2x+B2y+C2=0
0乘以任何数都是0
n(A2x+B2y+C2)=0
假设其交点为(a,b)那么(a,b)同时满足上面两个方程
所以A1a+B1b+C1=0
n(A2a+B2b+C1)=0
A1a+B1b+C1+n(A2a+B2b+C2)=0
把(a,b)变成(x,y)就行了
如果再变换一下
(A1+nA2)x+(B1+nB2)y+(C1+nC2)=0
因为A1，A2，B1，B2，C1，C2，n都是常数
所以可以写为A3x+B3y+C3=0,这就是个过(x,y)的直线方程
为什么不含l2呢？因为如果包含l2的话，可以认为任意l2上的点(m,n)也在新直线上,(m,n)非两直线交点
因为A2m+B2n+C2=0
所以A1m+B1n+C1+n(A2m+B2n+C2)=A1m+B1n+C1=0
但l1,l2不重合，所以A1m+B1n+C1不等于0，与上面的结论矛盾，所以l2上除交点外的点一定不在新直线上，即新直线和l2不重合

Answer 2

两条直线l1和l2，如果这两条直线既不重合（重合的话就有无数个交点）也不平行（平行的话没有交点），那么这两条直线只有一个交点。那么过这个交点的直线，也就是 过一个点的直线有无数条，这无数条直线简称 直线系，这个直线系（无数条直线）可用一个公式来表示就是你图中给出的那个公式。当然这个直线系里也包括l1和l2，l1和l2肯定过它们的交点啊！但是，l2不能用图中那个公式表示，所以括号里注明”不含l2“。其实这个直线系还可以表示为 m(A1x+B1y+C1)+A2x+B2y+C2=0（不含l1）。

Answer 3

例如：过直线x+y-1=0和直线x+2y-3=0的交点的直线系方程为：x+y-1+λ（x+2y-3)=0
整理后：（λ+1）x+（2λ+1）-（3λ+1）=0
不含l2意思是该线系方程不能表达l2.
该例子中假如用线系方程表示直线l2，则有方程组：
λ+1=1
2λ+1=2
3λ+1=3
该方程组无解，所以直线系方程不包含l2

Answer 4

理解不

追问

"不含l2"是什么意思?