Question

一道奥数题

一道奥数题要用初中方法

Answer 1

直接用几何法，有时会卡住。

用解析法，虽然笨，计算复杂点，但绝对不会卡住。建议适当情况下采用。

既然是奥数，默认直角坐标系和直线方程应该可以在初中范围内。

将图形变个方向，如下图：

不失一般性，可假设圆的半径为1，原点在圆心处，易得坐标A（0，-1）与B（0，1）

设C（a,√（1-a^2）），D（-a,√（1-a^2）），显然0<a<1。

由于M是OC中点，易得M（a/2,√（1-a^2）/2）

根据A和M得出直线AM的方程y=kx-1,其中k=[2+√（1-a^2）]/a

点E（x0，y0）在直线AM上，也在圆上，满足x0^2+y0^2=1

通过以上两式解出x0=2a[2+√（1-a^2）]/[4√（1-a^2）+5]

y0=1-2a^2/[4√（1-a^2）+5]

又，由B和C得直线BC的方程y=x[√（1-a^2）-1]/a+1

由D和E得直线DE的方程y-√（1-a^2）=(x+a)[y0-√（1-a^2）]/(x0+a)

以上两式解出点F的横坐标x=a/2（此式计算稍复杂，足够小心不犯错就可以）

F和M的横坐标都是a/2，故FM//AB，得证F为BC中点。