Question

五角星每条边都有四个圈。将1-10填入圈中，数字不得重复。怎么填？

且使得每个边的四个圈相加都相等。





Answer 1

相等的话是无解的，但若加入1—10以外的数字12，则如下图所示：

结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”，幻方是特殊的数阵图。幻方发展较快。

因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题。本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益，但都是有规律可循的。要善于观察。

Answer 2

无解

1、1到10总和为55，每个2次，共110，除以5是22，每条线的和应该是22；

2、内五顶点和外五顶点的地位是对等的，直觉上应该有内五顶点和外五顶点的和相同，但总和为55，不能对分，猜测可能无解。

进一步分析，从边界数字入手

3、先对最小的顶点1做分析，列举可能的组合有：

(1/10/9/2),(1/10/8/3),(1/10/7/4),(1/10/6/5),(1/9/8/4),(1/9/7/5),(1/8/7/6)，

因为两条线除1这个共同顶点外没有别的交点，以上有效的组合只有3种：

{(1/10/9/2),(1/8/7/6)},{(1/10/8/3),(1/9/7/5)},{(1/10/6/5),(1/9/8/4)}

以上3种可能中，1和10都在在同一条线上。

4、再对最大的顶点10做分析，列举可能的组合有：

(10/1/9/2),(10/1/8/3),(10/1/7/4),(10/1/6/5),(10/7/3/2),(10/6/4/2),(10/5/4/3)，

因为两条线除10这个共同顶点外没有别的交点，以上有效的组合只有3种：

{(10/1/9/2),(10/5/4/3)},{(10/1/8/3),(10/6/4/2)},{(10/1/6/5),(10/7/3/2)}

5、从五角星的图形可以看出，当1、10在同一条线上时，过1的另一条线和过10的另一条线有且只有一个交点

6、而在3、4步的所有三种可能组合中，(1/8/7/6)和(10/5/4/3)、(1/9/7/5)和(10/6/4/2)、(1/9/8/4)和(10/7/3/2)均没有交点，所以，无解。