Question

拉格朗日乘数法，计算方程最小值

函数f(x,y)=cos(x^2-y^2)在x^2+y^2=6下的最大值和最小值。
正确答案最大值是1，最小值是-1。只知道如何求最大值1。请问正确答案最小值-1如何求出？麻烦知道的朋友讲解一下，谢谢。

Answer 1

g(x,y,k)=cos(x²-y²)十k(x²十y²-6)
g'x=-sin (x²-y²)2x十2kx
g'y= -sin (x²-y²)2y十2ky
g'k= (x²十y²-6)

追答

x=0;k=sin(x²-y²)
y=0;k= sin(x²-y²)
x²十y²=6
x=0,y=0,不合题意。
x=0，y²=6，y=±√6，k=-sin6=sin（2π-6）
f=cos(6)=cos （2π-6）

y²=6-x²
k=sin(x²-y²)
x²-y²=arcsink
2x²=6十 arcsink
x²=3十0.5 arcsink
y²= 3-0.5 arcsink
f=±√（1-k²）
x²-y²=-6~6
k=-1~1
k²=0~1
f=-1~1