Question

求固体内横波的波动方程推导和流体中纵波的波动方程推导

求固体内横波的波动方程推导
和流体中纵波的波动方程推导

注意是两个，谢谢

Answer 1

先是用固体中某微元Sdx的应力、应变dy、位移y、弹性模量得到：Э2y/Эx2=(1/v^2)Э2y/Эt2 y是水平方向的位移，v是波速然后得到一个通解： y(x,t)= f(x-ut)+f(x+ut) 虽然没有明确给出纵波的波动方程，但是从后面的例题中可以看出：现在认为纵波与横波的波动方程形式是一样的： y(x,t)=Acos[2π(ft+x/λ)]，可是总要有些不同吧，于是写成： y(x,t)=Acos[w(t+x/v)]，这个式子与上面的横波方程有什么不同吗？ 首先，在固体中，比如说在晶体中，原子的振动完全可以看成是理想的“小球弹簧振子”，晶体原子之间的“键连接”可以看成是理想的弹簧？书中的“应力-应变”分析完全不考虑微元围绕平恒点的振动，当然也就不用考虑波密和波疏（双弹簧）的作用了，结果作用于微元dm的合力是左右两个力f1、f2相减： ∑F=f1-f2=YS(Эy/Эx|左 - Эy/Эx|右）=YS(Э2y/Эx2)dx 其中Y是杨氏弹性模量，S是面积，括号中是左应变减右应变，但是如果考虑到平衡点左右的波密、波疏作用，这两个力f1、f2应该是相加的，于是应该是：∑F=f1+f2=YS(Эy/Эx|左 + Эy/Эx|右）=2f=2YS(Эy/Эx）代入f=ma，就是：2YS(Эy/Эx）=ρSdx(Э2y/Эt2）即：Эy/Эx = (dm/2Y)(Э2y/Эt2）或者：Эy/Эx = (dx/2v^2)(Э2y/Эt2）（注意：v^2=Y/ρ）而不是书中给出的： Э2y/Эx2 = (1/v^2)(Э2y/Эt2） --------------------------------------------------- 总之，纵波应该有自己的一些特殊规律，不应该与横波形式完全相同，我觉得这个问题有点重要，特别是开始时，不要考虑纵波源，只就纵波本身来建立方程比较简单、明了一些，否则就会涉及到纵波源振幅A、介质粒子振幅、波长之间一些模糊问题，搞不好，纵波速就会与振源的振幅A成正比了，当然并不完全排除这种可能，可是暂时没有必要触及这个模糊问题？ 先暂时只考虑一个问题：如果把x方向的位移用y表示，那么仍然有： y(x,t)=Acos[2π(ft+x/λ)] 关键是对于一个确定的xo点处的介质粒子而言，振动方程就是： y(t)=Acos[2π(ft+xo/λ)]，如果不考虑初相位xo/λ，就是： y(t)=Acos(wt) 此时的y(t)是与x同方向的，那么这个最大位移ymax=A 还会与波长λ无关吗？这是关键。 另外不管是纵波还是横波都可以简化为一个双弹簧振子来考虑，在暂时不考虑波的传播损耗、衰减时，这个“双弹簧振子”的能量就是守恒的，从而可以得出一些很有用的近似结果，算是一种常用的“理想状态”下的简化吧？是否可以做出这样的简化呢？这是个关键性问题，还请各位帮助分析一下？ 如果可以使用“双弹簧小球”振子模型的话，就有：最大位移ymax=最大振幅A=λ/4，最大势能U=(1/2)KA^2=(1/2)m vmax^2 这个值或许是可变的，可是平均动能： E=（1/2）mV^2=（1/2）m(λf)^2=（1/2）m(λ/T)^2 却是一个常量，因为平均速度V=λ/T， 波刚度K（或最大势能）对托举重物很有用，它也能反映出“振子密度”---波强度的大小？但是对于单个“振子”来说，其所具有的“平均能量”应该是一个常数？它与该种介质粒子的质量m和在其中的传播平均速度V相关： ================= E=（1/2）mV^2 ================= 这不会成问题吧？我担心不要在一个错误的假设基础上推出“失之千里”的玩意来，那么是否至少存在声波中的“普郎克常数”H 呢？ 最后一个问题就是：在介质中是否有单独的横波存在？如果以后证明光波也是一种“介质波”呢？（不是手摇绳子的那种例子，绳子可不是“介质”，相对周围的介质来说，绳子只能算波源）而球面波就是标准的纵波吧？不少问题都可以近似简化为球面波，至于喇叭的振动就有纵有横了，要以传播的方向角度来确定，