Question

求函数f(x)=(x²+2x+2)/(x+1)的值域。（x≠1）

求函数f(x)=(x²+2x+2)/(x+1)的值域。（x≠1）

Answer 1

后面应该是（x≠-1）吧
【法一】判别式法
yx+y=x^2+2x+2
x^2+(2-y)x+(2-y)=0
这个关于x的方程有解则判别式大于等于0
所以(2-y)^2-4(2-y)>=0
(2-y)(2-y-4)>=0
(y-2)(y+2)>=0
y>=2,y<=-2
所以值域(-∞,-2]∪[2,+∞)
【法二】均值不等式法
y=(x^2+2x+2)/(x+1)=[(x+1)^2+1]/(x+1)=(x+1)+1/(x+1)
当x+1>0时，上式由均值不等式得最小值为2
当x+1<o,的其最大值为-2
综上所述，其值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)

Answer 2

函数可化为 f(x)=[(x+1)²+1]/(x+1)
=x+2 (x≠-1)
函数值域为f(x)∈(-∞,0)∪(0,+∞)