Question

线性代数～～～求助～～

已知，(AB)^T+B^(-1) A=0，A、B为三阶非零矩阵。证明A是奇异矩阵。
证了半天不会
求助大神~谢谢了~~

Answer 1

得加上实矩阵的条件结论才能成立, 一般来讲复矩阵是不行的, 比如说A=I, B=i*I

对于实矩阵, 把条件化成
BB^TA+A=0
所以-A^2=A^TBB^TA
注意右端是对称半正定阵, 特征值都是非负实数
而3阶实矩阵A至少有一个实特征值, 所以左端-A^2至少有一个非正的实特征值, 于是该特征值只能是零

追问

-A^2=A^TBB^TA这步怎么得到的呢？是上面那个式子移项后左乘A？还是A^T?

追答

笔误了
条件转化出来的是
BB^TA^T+A=0

移项左乘A得到
-A^2=ABB^TA^T
思路是一样的