Question

求二重积分（0,1)xdx(x,1)e^(-y^2)dy

Answer 1

解：由题设条件，有0≤x≤1，x≤y≤1。∴0≤x≤y，0≤y≤1。
∴原式=∫(0,1)dy∫(0,y)e^(-y²)dx=∫(0,1)ye^(-y²)dy=(-1/2)e^(-y²)丨(y=0,1)=(1-1/e)/2。
供参考。

追问

题目里还有个x

追答

不好意思，看漏了x！其过程依然是，由题设条件，有0≤x≤1，x≤y≤1。∴0≤x≤y，0≤y≤1。
∴原式=∫(0,1)dy∫(0,y)xe^(-y²)dx=(1/2)∫(0,1)y²e^(-y²)dy=(-1/4)ye^(-y²)丨(y=0,1)+(1/4)∫(0,1)e^(-y²)dy=-1/(4e)+(1/4)∫(0,1)e^(-y²)dy。
设I=∫(0,1)e^(-y²)dy=∫(0,1)e^(-x²)dx，∴I²=∫(0,1)e^(-y²)dy∫(0,1)e^(-x²)dx。
再设设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/2，0≤ρ≤1。 ∴I²=∫(0,π/2)e^(-ρ²)ρdρ=(1-1/e)π/4。
∴原式=√[(1-1/e)π]/8-1/(4e)。
供参考。

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示