Question

非齐次线性方程组线性无关的解的个数和其对应的齐次线性方程组基础解系的向量个数的关系是什么?

刘老师，您好！请问：
是不是非齐次线性方程组线性无关的解的个数比其对应的齐次线性方程组基础解系的向量个数多1？
如果是，那么题目中给出：
一个非齐次线性方程组有3个线性无关解，要求证r(A)=2，其中A是系数矩阵，是3 * 4的；
我可不可以这样做：
由于非齐次线性方程组有3个线性无关解，这样其对应的齐次线性方程组的基础解系的向量个数为3 - 1 = 2 个，而 2 = n - r(A) = 4 - r(A)，这样 r(A) = 2；
这样会有问题吗？
还以为没提问成功......

Answer 1

那个结论正确., 但你的推导有问题.

Ax=b 有3个线性无关的解a1,a2,a3,
则 a1-a3,a2-a3 是 Ax=0 的线性无关的解
所以 n-r(A)=4-r(A) >=2
所以 r(A)<=2.
只能得到这个结论.

r(A)>=2 需要从已知条件中挖掘, 原题是什么?

追问

原题可以观察到A中有不为零的二阶子式，所以r(A) >=2

请问我那个推导问题是出在哪里？

追答

那就对了!

问题是题目没说非齐次线性方程组 "恰有" 3个线性无关的解
"有" 3个线性无关的解是指至少有