Question

求解一道高中数学题！ 设函数f(x)=alnx+bx+c(a不等于0)。1.设函数f(x)有极值，求出a,b应满足的条件。2.

求解一道高中数学题！ 设函数f(x)=alnx+bx+c(a不等于0)。1.设函数f(x)有极值，求出a,b应满足的条件。2.当a>0时，求证：函数f(x)的最值与函数g(x)=ax^2+bx+c的最值没有确定的大小关系。（麻烦在作答时符号写清楚，非常感谢啊~）

Answer 1

求解一道高中数学题！ 设函数f(x)=alnx+bx+c(a不等于0)。1.设函数f(x)有极值，求出a,b应满足的条件。2.当a>0时，求证：函数f(x)的最值与函数g(x)=ax^2+bx+c的最值没有确定的大小关系。

解：(1)。f(x)的定义域为x>0；令f '(x)=(a/x)+b=(a+bx)/x=0，得驻点x=-a/b；
如果f(x)有极值，该驻点必须在其定义域内，即应满足-a/b>0，即a/b<0，也就是a和b必须异号。
(2)。当a，b异号时，x=-a/b是极小点，f(x)有极小值，无极大值。极小值=f(-a/b)=aln(-a/b)-a+c；
极小值也是其最小值，
令g'(x)=2ax+b=0，得驻点x=-b/2a；当a>0时x=-b/2a是极小点，其极小值=g(-b/2a)=(4ac-b²)/4a；
当a>0时x=-b/2a是极大点，其极大值=g(-b/2a)=(4ac-b²)/4a。不考虑是极大还是极小，都可把
(4ac-b²)/4a称之为g(x)的最值。
由于两最值之差Δu=aln(-a/b)-a+c-(4ac-b²)/4a=aln∣a/b∣-a+c-(4ac-b²)/4a=aln∣a/b∣+(b²-4a²)/4a
=aln∣a/b∣+(b²/4a)-a；
Δu的符号与a，b的符号及其相对大小有关，即Δu的符号不是一定的，因此两个最值的大小关系也不是固定的。

Answer 2

1,存在极值，f'(x)=a/x+b(x>0)可等于0或趋向于0，即a,b异号时即可。
2.f'(x)=0时x=-a/b,f(x)=aln│a│-aln│b│-b^2 /a +c a为负数有极小值，为正数则有极大值。
g(x)的极值为x=-b/2a时g(x)=ax^2+bx+c=-b^2 /4a +c;
两极值的差：Z(a,b)=aln│a│-aln│b│-3b^2 /4a 三个项必定存在异号，于是不能确定其与0的关系。
于是两函数的最值没有确定的大小关系。

Answer 3

（1）f'(x)=a/x+b
若有极值则a/x+b=0有解，x=-a/b＞0
ab＜0

2）f(x)最值=aln(-a/b)-a+c
g'(x)=2ax+b=0 x=-b/2a时取最值
g(x)最值=-b^2/(4a)+c
相差=aln(-a/b)-a+b^2/(4a)
关系不确定