Question

∫ln(1+x)/(x(x²+1))dx 定积分0到1

∫ln(1+x)/(x(x²+1))dx 定积分0到1求解

Answer 1

结果为：(7/96)π²-(1/8)ln²2

解题过程如下：

∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]

∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)

而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12

∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)

设I(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)

∴I(0)=0，I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)

α∈(0,1)，I(α)是连续函数

∴对α求导，有I'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)

∴I'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]

∴I(1)=∫(0,1)I'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16

∴=(7/96)π²-(1/8)ln²2

扩展资料

求函数积分的方法：

设F（x）是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分。

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

Answer 2

答：先计算不定积分 ∫ x/(x2+1) dx =(1/2) ∫ 1/(x2+1) d(x2+1) =(1/2) ln(x2+1)+C 0---1的定积分=(1/2)*[ln(1+1)-ln(0+1)]=(ln2)/2

Answer 3

分享一种解法。∵dx/[x(1+x²)]=dx[1/x-x/(1+x²)]=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，∴原式=-(1/2)ln²2-∫(0,1)[lnx-(1/2)ln(1+x²)]dx/(1+x)。
而，∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑[(-1)^n]∫(0,1)(x^n)lnxdx=-∑[(-1)^n]/(n+1)²=-π²/12①。
∴原式=-(1/2)ln²2+π²/12+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)②。
设I(α)=∫(0,1)ln(1+αx²)dx/(1+x)。∴I(0)=0，I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。显然，在α∈(0,1)，I(α)是连续函数。∴对α求导，有I'(α)=∫(0,1)x²dx/[(1+x)(1+αx²)。
∴I'(α)=[1/(1+α][ln2-(2/α)ln(1+α)-(1/√α)arctan(√α)]。∴I(1)=∫(0,1)I'(α)dα=(3/4)ln²2-∫(0,1)lnαdα/(1+α)-π²/16③。
∴综合①、②、③式，原式=(7/96)π²-(1/8)ln²2。
供参考。

Answer 4

∫(1,0)ln(1+x)dx =xln(1+x)(1,0)-∫(1,0)x/(x+1) dx =ln2-∫(1,0)dx+∫(1,0)dx/(x+1) =ln2-1+ln(x+1)(1,0) =ln2-1+ln2 =2ln2-1.