Question

下面是一道高中数学有关函数单调性的题目。虽然答案解析能看懂，但是我想问问大家你们能否快速想到做出来

以及第二小题求m，n对应函数值的过程，我就不明白怎么能想到这样做呢？望给予思路技巧，谢谢。

我才接触这些内容，经验不多，望指点。

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Answer 1

证明函数单调性一般有二种方法：1导数法；2定义法
对于已知的解析式时，第一种方法为优先考虑；对于抽象函数，则第二种方法为优先考虑；本题为抽象函数，并不知道函数解析式，所以使用定义法。

求函数值域的方法很多，如观察法，配方法，换元法，判别式法，图像法，导数法等，这主要都是针对已知函数解析式的函数，对于抽象函数，上述方法就不适合了，主要就是根据题设给出的条件利用函数的某些性质加以解决
对于本题，
(2)∵对于定义域为R的“任意”x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，f(x)在定义域内单调减
设x=1,y=x-1
则有f(1+x-1)=f(1)+f(x-1)
设x=1,y=x-2
则有f(1+x-2)=f(x-1)=f(1)+f(x-2)
……
∴f(x)=xf(1)
∵f(3)=-3=3f(1)==>f(1)=-1
∴f(m)=-m,f(n)=-n
∴函数f(x)在区间[m,n]上的值域为[-n,-m]

Answer 2

证明函数单调性只有一个思路，就是按照增减函数的定义去证明，这个相信老师都会这样说
至于求值域的思路来源，主要就是根据题设给出的对于定义域为R的“任意”x都有这样的等式成立，所以我们当然按照题设给出的思路来求值域，n=1+（n-1）这种拼凑思路来源也是根据已知条件等式得来，其他类型的等式道理相通，总之就是，问题不会超越题设已知，按照出题人的思路去理解分析题目即可，个人观点，仅供参考。