Question

复数的开方运算公式是什么？

Answer 1

任意复数表示成z=a+bi，

若a=ρcosθ,b=ρsinθ,即可将复数在一个平面上表示成一个向量,ρ为向量长度（复数中称为模）,θ为向量角度（复数中称为辐角），

即z=ρcosθ+ρsinθ,由欧拉公式得z=ρe^(iθ)，

注意到向量角度t,cos(2kπ+θ)=cosθ,sin(2kπ+θ)=sinθ，

所以z=ρe^(iθ)=ρe^[i(2kπ+θ)。

开n次方,z^(1/n)=ρ^(1/n)*e^[i(2kπ+θ)/n]，

k=0,1,2,3……n-1,n,n+1……，

k=n时,易知和k=0时取值相同，

k=n+1时,易知和k=1时取值相同，

故总共n个根,复数开n次方有n个根，

故复数开方公式。

先把复数转化成下面形式：

z=ρcosθ+ρsinθ=ρe^[i(2kπ+θ)，

z^(1/n)=ρ^(1/n)*e^[i(2kπ+θ)/n]，

k取0到n-1，

注：必须要掌握的内容是,转化成三角形式以及欧拉公式。

开二次方也可以用一般解方程的方法，

a+bi=(x+yi)^2,解一个二元二次方程组。

【复数】

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位(即-1开根)。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。