Question

利用无穷级数求极限

Answer 1

收敛时通项极限为0 即limUn=0 没错
本题中Un=n/3的n次方
但需要的时无穷级数∑Un的合值不是Un的极限
可利用无穷级数求和方法或错位加减法得到这个值 。
设 f(x)=∑nx^(n-1) 求和n从1到无穷大
积分 ∫f(x)dx= ∑x^n =x/(1-x)
f(x)=[x/(1-x)]的导数=1/(1-x)的平方
代入x=1/3 可得到 ∑n/3^(n-1) =1/(1-1/3)的平方=9/4
所以∑n/3^n=3/4
原极限=2^（3/4）=8^(1/4)
错位加减法
Sn=1/3+2/9+3/27+。。。。+（n-1）/3^(n-1)+n/3^n
(1/3)Sn=1/9+2/27+................ +(n-1)/3^n+n/3^(n+1）
两式相减可得到(2/3)Sn=1/3+1/9+1/27+......+1/3^n- n/3^(n+1)
所以 (2/3)Sn=(1/3)【1-(1/3)^(n+1)】/(1-1/3) -n/3^(n+1)
取极限 (2/3)limSn=1/2
所以 limSn=3/4

Answer 2

解：计算“lim(n→∞)∑n/3^n”时，用比值审敛法，只是判断级数∑n/3^n收敛与否，而不是得出了∑n/3^n的结果。
设S=∑n/3^n，∴S-(1/3)S=∑1/3^n-n/3^(n+1)。∴2S/3=(1/2)(1-1/3^n)-n/3^(n+1)，
∴lim((n→∞)∑n/3^n=lim((n→∞)S=3/4。∴原式=2^(3/4)=8^(1/4)。
供参考。