初中数学奥赛题
2006个都不等于119的正整数a1,a2,...,a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1+a2+...+a2006的最小值。请给出具体说明...
2006个都不等于119的正整数a1,a2,...,a2006排列成一行数，其中任意连续若干项之和都不等于119，求a1+a2+...+a2006的最小值。请给出具体说明或过程，谢谢。
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2009年全国初中数学竞赛上海市选拔赛试题
（满分：120分，时间：120分钟）
考试时间：2008年12月20日 上午：9：00～11：00
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.若 ， ，则 的值是（ ）
A．0 B．－1 C．－3 D．－4
2.若 是关于 的二元一次方程，且 ， ，则 的值是（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．－2
3.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即 ），且DE∥FG∥BC，BC= ，FG－DE=（ ）
A． B． C． D．
4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ， ，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）
A．34 B．64 C．69 D．无法求出
5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ ）元.
A．2.4 B．2.1 C．1.9 D．1.8
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.设 为实数，代数式 的最小值为 .
7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为 .
8.化简： .
9.如图，点A、C在反比例函数 的图象上，B、D在 轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标 .
10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 ㎝2.
三、解答题（每小题15分，共60分）
11.已知一次函数 的图象经过点求的值.
12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE， 若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.
13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.
14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交 轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形请写出推理过程；
（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程.
参考答案与提示
1.C．取 代入计算即可.
2.A．提示：
3. D.提示：由相似三角形的性质得 ，设 ，则
4.B．提示：设 ，则 ；
∴ ；当且仅当 时， ；
此时BC∥AD， .
故
5.B．设铅笔每支 元，练习本每本 元，圆珠笔每支 元，则
6.3．提示：原式= .
7. 50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线
8. 4．提示：原式= .
9. .提示：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设BF=m，
则 ，代入 得
，∴ .
10. .提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求 ，
∴
11.可求得 ∵ .
原式=
12.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE.
E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，
从而可证∠EFD=∠EDF=40°，
∵EF=ED，
于是易证△ADE≌△AFE，
∴∠CAE=∠DAE= ∠DAC=30°.
13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCA
证△CDN∽△CAM
14.（1）设 要四边形PABO为平行四边形，则
∴ .（2）当 时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.
.∴AF=6，∴F（19，0）
∴
（3）①QP=AP，作OG⊥ 轴于G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当 时，△PQF是等腰三角形.
图复印不了很抱歉
（满分：120分，时间：120分钟）
考试时间：2008年12月20日 上午：9：00～11：00
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.若 ， ，则 的值是（ ）
A．0 B．－1 C．－3 D．－4
2.若 是关于 的二元一次方程，且 ， ，则 的值是（ ）
A．－4 B．2 C．4 D．－2
3.如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分（即 ），且DE∥FG∥BC，BC= ，FG－DE=（ ）
A． B． C． D．
4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O， ， ，则四边形ABCD的面积最小值是（ ）
A．34 B．64 C．69 D．无法求出
5.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ ）元.
A．2.4 B．2.1 C．1.9 D．1.8
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.设 为实数，代数式 的最小值为 .
7.如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，M、N分别是边AB、BC的中点，MP⊥CD于点P.则∠NPC的度数为 .
8.化简： .
9.如图，点A、C在反比例函数 的图象上，B、D在 轴上，△OAB，△BCD均为正三角形，则点C的坐标 .
10.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC上距离B点6㎝的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 ㎝2.
三、解答题（每小题15分，共60分）
11.已知一次函数 的图象经过点求的值.
12.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=80°，E是腰CD上一点，连接BE、AC、AE， 若∠ACB=60°，∠EBC=50°，求∠EAC的度数.
13.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，M是OC的中点，AM的延长线交⊙O于点E，DE与BC交于点N.求证：BN=CN.
14.如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q出同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交 轴于点F.动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.
（1）当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形请写出推理过程；
（2）当t=3秒时，求△PQF的面积；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程.
参考答案与提示
1.C．取 代入计算即可.
2.A．提示：
3. D.提示：由相似三角形的性质得 ，设 ，则
4.B．提示：设 ，则 ；
∴ ；当且仅当 时， ；
此时BC∥AD， .
故
5.B．设铅笔每支 元，练习本每本 元，圆珠笔每支 元，则
6.3．提示：原式= .
7. 50°.过N作NG⊥PM于G，可证NG这MP的中垂线
8. 4．提示：原式= .
9. .提示：作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F，易求OE=EB=1，设BF=m，
则 ，代入 得
，∴ .
10. .提示：过P作PM⊥AC于M，PN⊥DF于N，易证四边形PMGN为正方形，可求 ，
∴
11.可求得 ∵ .
原式=
12.连结BD交AC于F，连EF.可证△BCF，△ADF均为正三角形.可证CB=CE.
E、F、B在以C为圆心，CE为半径的圆上，
从而可证∠EFD=∠EDF=40°，
∵EF=ED，
于是易证△ADE≌△AFE，
∴∠CAE=∠DAE= ∠DAC=30°.
13.连结AC，BD.证△BCD∽△OCA
证△CDN∽△CAM
14.（1）设 要四边形PABO为平行四边形，则
∴ .（2）当 时，OP=6，CQ=11－3=9，BQ=3.
.∴AF=6，∴F（19，0）
∴
（3）①QP=AP，作OG⊥ 轴于G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当 时，△PQF是等腰三角形.
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对于任意119个正整数b1,b2,…,b119,其中一定存在若干个(至少一个,也可以是全部)的和是119的倍数.
,考虑如下119个正整数b1, b1+b2 …, b1+b2+…+b119, (1)
若(1)中有一个是119的倍数,则结论成立.
若(1)中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设b1+b2+…+bi和b1+b2+…+bj (1≤i≤j≤119),于是
119| bi+1+b2+…+bj
从而此命题得证.
对于a1，a2，a3 ，… a2006中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006=16×119+102,所以a1+a2+a3+…+a2006≥16×238+102=3910. (2)
取a119=a238=…=a1904= 120,其余的数都为1时,(2)式等号成立.
所以, a1+ a2+ a3+… + a2006的最小值为3910
,考虑如下119个正整数b1, b1+b2 …, b1+b2+…+b119, (1)
若(1)中有一个是119的倍数,则结论成立.
若(1)中没有一个是119的倍数,则它们除以119所得的余数只能为1,2,…,118这118种情况.所以,其中一定有两个除以119的余数相同,不妨设b1+b2+…+bi和b1+b2+…+bj (1≤i≤j≤119),于是
119| bi+1+b2+…+bj
从而此命题得证.
对于a1，a2，a3 ，… a2006中的任意119个数,由上述结论可知,其中一定有若干数的和是119的倍数,又由题设知,它不等于119,所以,它大于或等于2×119,又因为2006=16×119+102,所以a1+a2+a3+…+a2006≥16×238+102=3910. (2)
取a119=a238=…=a1904= 120,其余的数都为1时,(2)式等号成立.
所以, a1+ a2+ a3+… + a2006的最小值为3910
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