Question

复变函数问题

如果能全做完的话，且能保证答案，可以追加50分。

Answer 1

1，z=(1+i)^2/2=i，所以实部=0，虚部=1，模=1，主幅角=π/2
2，f(z)=u+iv=x-iy，则u'x=1，v'y=-1,，u'x≠v'y，所以f(z)在z平面上任何点都不可微，自然也都不解析。
3，积分表达式=(1/2)[(sinπz/6)dz/(z-1)-(sinπz/6)dz/(z+1)]，由于z=±1在z=|3|内部，根据复合闭路定理和柯西积分公式，∮(sinπz/6)dz/(z-1)=2πisinπ/6=πi，同理-∮(sinπz/6)dz/(z+1)=πi，所以原积分=πi。
4，f(z)=(1/3)[1/(z+1)-2/(2-z)]，而1/(z+1)=1/[1-(-z)]=1-z+z^2-z^3+...，2/(2-z)=1/(1-z/2)=1+z/2+z^2/4+z^3/8+...，所以f(z)=-3z/2+3z^2/4-9z^3/8+...
5，z=2为一级极点，z=-1为二级极点，根据留数计算法则，Res[f(z),2]=limz/(z+1)^2=2/9，Res[f(z),-1]=limd[z/(z-2)]/dz=lim-2/(z-2)^2=-2/9
6，f'(z)=2z-2，旋转角=Argf'(i)=Arg(-2+2i)=3π/4，伸缩率=|f‘(i)|=2√2