Question

已知函数f（x）=sin(ωx+φ)……

已知函数f（x）=sin(ωx+φ) （ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图像关于点M（3π/4，0）对称，且在区间[0，π/2]上是单调函数，求ω和φ的值

Answer 1

函数f(x)=sin(ωx+φ)(w>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数∴f(-x)＝f(x)→sin(-wx+φ)=sin(wx+φ)→-sinωxcosφ=sinωxcosφ
sinωx不恒等于0∴cosφ=0,又0≤φ≤π∴φ=π/2
其图像关于点(3/4π,0)对称则 ω×3π/4+π/2 =kπ(k∈z)→ω=(4k-2)/3(k∈z)
又f(x)在区间[0,π/2]上是单调函数∴f(x)的最小正周期≥π(可画一个示意图得出),
即2π/ω≥π又ω>0→0<ω≤2.
ω=2或2/3

Answer 2

f（x）=sin(ωx+φ) （ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，f（-x）=f（x）f（-x）=sin（-wx+φ）=-sin（wx-φ）0≤φ≤π，可知φ=π/2符合条件，所以f（x）=coswx图像关于点M（3π/4，0）对称在区间[0，π/2]上是单调函数，也就是说f（3π/4）=1或-1，w=4/3或-4/3[0，π/2]上是单调函数，可以知道w=4/3