Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a,b,c属于R),满足下列条件：1.x属于R时，f(

x)的最小值是0，且f(x-1)=f(-x-1)成立；2.当x属于（0,5)时，x<=f(x)<=2|x-1|+1恒成立 (1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m>1)使得存在实数t,当x属于[1,m]时，有f(x+t)<=x成立。
第一个问求出来了，第二个问还有第三个

Answer 1

(1)
因为1属于（0，5),因此1<=f(1)<=2*|1-1|+1=1
=>1<=f(1)<=1
=>f(1)=1
(2)
f(1)=1=>a(1+1)^2=1
=>a=1/4
=>f(x)=(x+1)^2/4
(3)
又(x+1)^2/4-x=(x-1)^2/4>=0
因此（x+1)^2/4>=x
显然，x属于[1,m]时，是单调递增区间，要使x属于[1,m]时，都有f(x+t)<=x成立，那么t必小于0
因此题目要求实际就相当于把f(x)的曲线右平移|t|，使得（1，f(1))点刚好在曲线y=x上，m实际就是y=x和平移后的f(x)曲线的另一交点的x值。这样f(x+t)的曲线在【1，m】区间都在y=x直线下方，满足题目要求。
令：f(x+t)=(x+t+1)^2/4=x
=>(x+t+1)^2/4=x
=>x^2+2(t-1)x+(t+1)^2=0 (a)
又曲线通过(1，1）点，因此1是它的一个解
=》1+2(t-1)+(t+1)^2=0
=>t=-4
将t=-4代入（a)
=>x^2-10x+9=0
=>x1=1,x2=9
因此m=x2=9
因此这个最大的实数m的值为9
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