一道线性代数的题目求帮助
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(1)
由4A^2-I=0得：A^2=I/4
设A的特征值是λ，特征向量是x
即：Ax=λx
左乘A就得：x/4=λAx=λ^2x
所以：λ^2=1/4
λ=1/2或-1/2
(2)
设λ=1/2有k个线性无关的特征向量
即：r(2A-I)=n-k
这意味着2A-I有n-k个线性无关列
又由4A^2-I=0得
(2A+I)(2A-I)=0
这表明2A-I的n-k个线性无关列又是λ=-1/2的特征值
所以：r(2A+I)≤n-(n-k)=k
于是：r(2A-I)+r(2A+I)≤n
又：r(2A-I)+r(2A+I)≥r(4A)
上面已证A是满秩的
所以有：r(2A-I)+r(2A+I)=n
由4A^2-I=0得：A^2=I/4
设A的特征值是λ，特征向量是x
即：Ax=λx
左乘A就得：x/4=λAx=λ^2x
所以：λ^2=1/4
λ=1/2或-1/2
(2)
设λ=1/2有k个线性无关的特征向量
即：r(2A-I)=n-k
这意味着2A-I有n-k个线性无关列
又由4A^2-I=0得
(2A+I)(2A-I)=0
这表明2A-I的n-k个线性无关列又是λ=-1/2的特征值
所以：r(2A+I)≤n-(n-k)=k
于是：r(2A-I)+r(2A+I)≤n
又：r(2A-I)+r(2A+I)≥r(4A)
上面已证A是满秩的
所以有：r(2A-I)+r(2A+I)=n
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追问
请问哪里知道A是满秩的?
追答
因为A的特征值不是1/2就是-1/2，没有0
所以就是满秩啊
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2024-10-28 广告
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