Question

已知直角三角形两条直角边之和为1，问这两条直角边取何值时，此直角三角形面积最大？

说的简单明了一点，我实在不知道为什么等腰直角三角形面积最大。

Answer 1

这实际上就是一个二次函数的问题，假设一条直角边长为x，则另一直角边长为1-x
面积=1/2x*(1-x)=1/2(-x^2+x)=1/2[-(x-1/2)^2+1/4]
因为这个函数在x=1/2时有最大值，所以当x=1/2，即两条直角边都为1/2时，三角形面积最大

追问

太棒了！

Answer 2

可以简单的试试啊！三角形的面积是底×高÷2，如果是0.1和0.9，面积为0.045，如果是0.2和0.8，面积为0.08，怎么样，结果是不是越来越大，同理，当是等腰三角形时，也就是0.5和0.5时，面积为0.125。所以，在直角边之和固定的前提下，等腰直角三角形的面积最大。类似的问题还有，周长固定的情况下，圆的面积最大；在表面积固定的情况下，圆球的体积最大。

Answer 3

两个完全相等的直角三角形可以拼与一个长方形，当长方形的邻边之和为定值时，正方形面积最大。所以，当两条直角边的和为定值时，等腰直角三角形面积最大。
为什么正方形面积最大呢。S=a*b
如果两个数和一定时，当这两个数相等时的，两个数的乘积最大。
这是小学里就学到的知识。

Answer 4

设直角边为x,另一直角边为1-x,
S=x(1-x)/2
S=-(x^2-x+1/4)/2+1/8
=-(x-1/2)^2+1/8,
即直角边都为1/2时面积最大,为1/8.

Answer 5

可证,得，设直角三角形的两边为x，y
x+y=1，2S=x*y
x（1-x）在x=0.5时取到最大值，
所以x=y=0.5时面积取到最大
所以等腰直角三角形面积最大