数字142857有什么奇特的性质吗？
142857，又称 “走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一 （ 也许仅次于 \pi 、 e ），也许很多人很小的时候，就会在趣味数学里看到这个数。而这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内。
为什么说这个数是 走马灯数 呢？
这是因为，它 2~6 倍，都恰好是这六个数字的重新排列
285714,428571,571428,714285,857142……
并且是 按次序 排列的哦，如下图所示，是不是很像 “走马灯” 呢？
这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇。于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？ 是否还会有其他数具有这样的性质呢？
先回答第一个问题。
数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根。
但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的。
大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？
当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈？
（哎，作为一名水平低下的数学爱好者，有时候我有点讨厌某些学数学的大佬，因为明明可以用更通俗的语言解释，但他们却总喜欢用一些高深的术语去吓跑数学小白们，去扑灭他们对数学的热情，其心可诛啊！ ）
这个问题，其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊！
我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~
当然，需要 3 个很简单的前提条件：
你知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道 互质 的含义（最大公约数为1）；
你会 竖式计算；
你已经知道：142857*7=999999；
那么，下面我们开始吧~
一、竖式计算的奥秘
既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节。毕竟 1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：
仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：
前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环。
这个现象揭示了一个简单的定理：
定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1。
142857，又称 “走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一 （ 也许仅次于 \pi 、 e ），也许很多人很小的时候，就会在趣味数学里看到这个数。而这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内。
为什么说这个数是 走马灯数 呢？
这是因为，它 2~6 倍，都恰好是这六个数字的重新排列
285714,428571,571428,714285,857142……
并且是 按次序 排列的哦，如下图所示，是不是很像 “走马灯” 呢？
这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇。于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？ 是否还会有其他数具有这样的性质呢？
先回答第一个问题。
数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根。
但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的。
大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？
当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈？
（哎，作为一名水平低下的数学爱好者，有时候我有点讨厌某些学数学的大佬，因为明明可以用更通俗的语言解释，但他们却总喜欢用一些高深的术语去吓跑数学小白们，去扑灭他们对数学的热情，其心可诛啊！ ）
这个问题，其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊！
我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~
当然，需要 3 个很简单的前提条件：
你知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道 互质 的含义（最大公约数为1）；
你会 竖式计算；
你已经知道：142857*7=999999；
那么，下面我们开始吧~
一、竖式计算的奥秘
既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节。毕竟 1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：
仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：
前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环。
这个现象揭示了一个简单的定理：
定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1。
