多元函数极限问题,下图打问号的怎么来的? 30

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vdakulav
2020-03-14 · TA获得超过1.5万个赞
知道大有可为答主
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这是非常白痴的一道题,你的资料有问题,请根据如下的分析决定是否扔了这本资料!

1、极限保号性是只具有“局部”特征的,这个从定义的证明就可以知道,这里不在赘述。但是需要说明的一点是,局部体现在:

1)∃δ>0(领域半径)是只存在于趋近点的附近,也就是说,δ不是∞,更不是变量的整个定义域;这一点同济版的教材丝毫没有提!

2)另一个方面,函数的保号性只是存在于极限点附近,也就是说,∀ε>0,这个ε只能是:ε≤极限值,而不是ε→∞,如果是这样,该函数就是恒大于等于(或≤)零

2、实际上,极限的局部保号性中的领域半径的大小问题非常复杂,这个的研究现在还没有什么可靠的办法,因为在实际中,如果领域半径太大,那么在天文学或者物料学上就没有什么应用的意义了(因为找不到啊)

3、简而言之,本题中,因为ρ→0,根据等价无穷小定义,可以看成:

f(x,y)-2 ~2x²+y²-(x²+y²)²

也就是说:

2x²+y²-(x²+y²)² →0

这样就构建了:

(ρ→0) ∝ (2x²+y²-(x²+y²)² → 0)

而:

ρ=√(x²+y²),必定其领域半径 δ<1,即:ρ < 1,

否则,满足不了2x²+y²-(x²+y²)² →0

而当ρ=√(x²+y²)<1时,

2x²+y² >(x²+y²)²

即:

2x²+y² -(x²+y²)² >0

结论:

上述逻辑非常不严密,因为没有具体讨论领域半径和函数极限值的对应关系,而实际上,这个问题当前数学界也没有任何定理或推论

如果资料中是以这个问题来出题或者解释,说明出题者本身就对教材不清楚,或者数学逻辑不严密,只是为了出题而出题!

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