Question

多元函数极限问题，下图打问号的怎么来的?

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Answer 1

这是非常白痴的一道题，你的资料有问题，请根据如下的分析决定是否扔了这本资料！

1、极限保号性是只具有“局部”特征的，这个从定义的证明就可以知道，这里不在赘述。但是需要说明的一点是，局部体现在：

1）∃δ>0（领域半径）是只存在于趋近点的附近，也就是说，δ不是∞，更不是变量的整个定义域；这一点同济版的教材丝毫没有提！

2)另一个方面，函数的保号性只是存在于极限点附近，也就是说，∀ε>0，这个ε只能是：ε≤极限值，而不是ε→∞，如果是这样，该函数就是恒大于等于(或≤)零

2、实际上，极限的局部保号性中的领域半径的大小问题非常复杂，这个的研究现在还没有什么可靠的办法，因为在实际中，如果领域半径太大，那么在天文学或者物料学上就没有什么应用的意义了（因为找不到啊）

3、简而言之，本题中，因为ρ→0，根据等价无穷小定义，可以看成：

f(x,y)-2 ～2x²+y²-(x²+y²)²

也就是说：

2x²+y²-(x²+y²)² →0

这样就构建了：

（ρ→0） ∝ （2x²+y²-(x²+y²)² → 0）

而：

ρ=√(x²+y²)，必定其领域半径 δ<1，即：ρ < 1，

否则，满足不了2x²+y²-(x²+y²)² →0

而当ρ=√(x²+y²)＜1时，

2x²+y² >(x²+y²)²

即：

2x²+y² -(x²+y²)² >0

结论：

上述逻辑非常不严密，因为没有具体讨论领域半径和函数极限值的对应关系，而实际上，这个问题当前数学界也没有任何定理或推论

如果资料中是以这个问题来出题或者解释，说明出题者本身就对教材不清楚，或者数学逻辑不严密，只是为了出题而出题！