Question

a4+b4>=1/2ab(a+b)2

a4+b4>=1/2ab(a+b)2

Answer 1

证明：
2(a^4+b^4)-ab(a+b)²
=a^4+b^4-a³b-ab³+a^4+b^4-2a²b²
=a^4-a³b+b^4-ab³+a^4+b^4-2a²b²
=a³(a-b)+b³(b-a)+(a²-b²)²
=(a³-b³)(a-b)+(a²-b²)²
=(a-b)(a²+ab+b²)*(a-b)+(a²-b²)²
=(a-b)²(a²+ab+b²)+(a²-b²)²
∵ a²+ab+b²=(a+b/2)²+3b²/4≥0
(a-b)²≥0，(a²-b²)≥0
∴ 2(a^4+b^4)-ab(a+b)²≥0
∴ 2(a^4+b^4)≥ab(a+b)²
∴ a^4+b^4≥(1/2)*ab(a+b)²

Answer 2

即证，a4+b4-1/2ab(a+b)²≥0.
a4+2a²b²+b4-2a²b²-1/2ab(a+b)²≥0.
(a²+b²)²-2a²b²-1/2ab(a+b)²≥0.
(a²+b²+√2ab)(a²+b²-√2ab)-√1/2*√a*√b(a+b)²≥0.

Answer 3