Question

导函数不一定是连续函数,若有间断点,只能是第二类??

导函数不一定是连续函数,若有间断点,只能是第二类??怎么理解哦?第一类不行啊?

Answer 1

函数某点可导的充要条件不是左导数、右导数都存在且相等，这个没错，但是这个是说函数要连续，但是并不意味着导函数也要连续。
函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。

关于间断点
首先我们讨论一下原函数的存在性：
1.当f(x)连续时，一定存在原函数F(X)
2.当f(x)存在第一类间断点时，一定不存在原函数。
言外之意就是，f(x)存在第二类间断点时，可以存在原函数。
然后我们来讨论你的问题，首先导函数不一定是连续函数，前面已经讲了。那么我们来讨论，导函数的间断点是否必须为第二类。
既然是“导函数”，说明是某函数求导得到的函数。也就是说，该“导函数”一定是有原函数的。
既然有原函数，根据前面的原函数存在性定理，那么必须不能有第一类间断点，可以是连续的，
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下面给出详细的证明。

首先我们要搞清楚，导数的左（右）极限=左（右）导数的条件是什么。
设f(x) 在x=c点邻域内连续，可导。且导函数在c点左右两侧极限存在（假设极限为A）。

f`(c-0)=lim(f(x)-f(c))/(x-c)，由罗比达法则，f`(c-0)=limf`(x)=A
x-c-
也就是此时左导数=导数的左极限=A
同理此时右导数=导数的右极限=A

下面我们证明，导数的间断点只能是第二类间断点。
反证法：假设x=c是导函数f`(x)的间断点，且是第一类间断点（即limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在）

因为limf`(x)=A和limf`(x)=A都存在，则f`(c-0)=f`(c+0)，也就是说，x=c是导函数f`(x)的连续点。
矛盾。

所以只能是第二类间断点。

Answer 2

函数可导,那一定有原函数,什么函数才有原函数?这是积分学研究的东西,结论是:连续函数或者在定义域内只有第一类间断点的函数有原函数。第一类间断点是说左极限和右极限都存在,可以相等可以不相等。相等的是可去间断,不相等的是跳跃间断

Answer 3

连续函数的导函数具有介值性(书上应该有证明吧),不会有一类间断点,因为一类间断点左右极限都存在,但是不相等,左右极限中间的那些值没有原象,所以与介值性是矛盾的

Answer 4

函数可导，就说明导函数在该点有定义，所以只要可导，导函数就不存在无定义的点，
如果原函数连续，那么导函数要么连续，要么含有第二类间断点，不会是第一类

Answer 5

这不是微分学,这是积分学。高数上(同济第六版)第5章有两个定理,不过书上没给出证明(不做深入讨论)定理一是连续函数一定有原函数,定理二是函数F(X)在[a,b]上有界并有有限个间断点,则函数F(X)有原函数