Question

已知f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0

设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0 试判断函数y=f(x)的奇偶性。
2）试求方程f(x）=0在闭区间[-2011,2011]上的根的个数，
※并证明

Answer 1

函数f(x)在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0, ∴f(5)≠0 又f(2－x)=f(2+x), ∴f(－1)=f(5), ∴f(－1) ≠0，而∴f(1)=0∴f(－1) ≠±f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数由f(2－x)=f(2+x)得f(4－x)=f(x)由f(7－x)=f(7+x)得f(4－x)=f(10+x), ∴f(x)=f(10+x)∴函数f(x)的一个周期是10,而f(7－x)=f(7+x)，函数f(x)在[4，7]上无根，∴函数f(x)在[7，10]上无根∴f(x)=0在[0，10]上恰有两根为1和3，由周期为10可知 f(x)=0的根为10n+1或10n+3的形式所以 －2011≤10n+1≤2011 得－201.2≤n≤201，共403个 －2011≤10n+3≤2011 得－201.4≤n≤200.8，共402个∴方程f(x)=0在在闭区间[－2011，2011]上的根的个数为805个.