Question

高中数学：已知λe^λx>lnx, 求λ的取值范围？x∈（0，+∞）

请写过程或谈详细思路。

Answer 1

一般这种题有两种思路：1.分离常数——把λ分离出来，变成λ什么什么的表达式2.就是设函数比如谨袜这简返个题拦晌饥就是λe^λx-lnx> 0设y=λe^λx-lnx 在x∈（0，+∞）时找出y的最小值然后用λ表达出来> 0

追问

思路1：无法分离λ。
思路2：无法求y=λe^λx-lnx的最小值(起码高中知识无法解决这个问题)。
最好能做一下过程

Answer 2

设悉首f(x)＝λe∧λx-lnx，然后证明f(x)＞0
或设f(x)＝λe∧λx÷lnx，然后证明f(x)＞1
可能要变换式子然唤郑后求睁链数导数，但我很久没做这种题了没解出来不好意思哈。

追问

多谢您的回复。这个题目不是证明题目。设f(x)＝λe∧λx-lnx，f(x)＞0并不能恒成立的。其实λ<1/e时，f(x)<0。我绘图猜出的答案，但没有解题思路。另外您说一下求导的意义何在？

追答

是不能恒成立的，所以利用这种办法找到λ的不等式证明呀，只是我f'(x)求一次导后发现令f'(x)＝0无法直接算出零点，后面我就不会了⋯⋯

追问

我做了一下变换，已经成为了a^x=log(a)x形式，求a的取值范围的问题。但这有点绕，您能求出这个方程的解吗？

追答

问老师吧，这求个导就看出来lna＝入了，式子本质没变，我做不出来

追问

只是大家讨论找思路，没有关系的。我不是在校学生，没有老师。反过来说，谁都是我的老师哦。求导后f'(x)=(λ^2)*e^λx-1/x，看不出什么关系啊？而且导函数求出f'(x)=0的x也无法对应到f(x)中去吖？我不太清楚求导的意义。多谢您参加讨论，感谢

追答

这个你需要学高等数学才可以知道他的原理了。求导是为了找出极大值和极小值，从而找出函数的范围

Answer 3

构造函数.
λx*e∧λx＞Inx*e∧Inx
令f(t)＝t*e^t
易知f(x)在(0,＋无穷顷厅)单调递增
所以λx＞Inx
λ＞Inx/x
令g(x)＝Inx/x
求个导略
λ＞e

PS:这是老娘手打的搜题雀孙隐时不小心搜到就顺手写了，如有错凯尺误望指正