求定积分过程，答案为（e-1）/3e
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由於二元函数f(x,y)=ye^(-y³)在平面内以(0,0),(0,1)和(1,1)构成的三角形区域D上连续,且区域D既是x型又是y型,因此可以交换积分次序,即:
∫[0,1]dx∫[x,1]ye^(-y³)dy=∫[0,1]dy∫[0,y]ye^(-y³)dx
先对x进行积分,∫[0,y]ye^(-y³)dx=ye^(-y³)∫[0,y]dx=ye^(-y³)*y=y²e^(-y³)
再对y进行积分,∫[0,1]y²e^(-y³)dy
=-1/3*∫[0,1]e^(-y³)d(-y³)
=-1/3*e^(-y³)|[0,1]
=-1/3*(1/e-1)
=(e-1)/3e
∫[0,1]dx∫[x,1]ye^(-y³)dy=∫[0,1]dy∫[0,y]ye^(-y³)dx
先对x进行积分,∫[0,y]ye^(-y³)dx=ye^(-y³)∫[0,y]dx=ye^(-y³)*y=y²e^(-y³)
再对y进行积分,∫[0,1]y²e^(-y³)dy
=-1/3*∫[0,1]e^(-y³)d(-y³)
=-1/3*e^(-y³)|[0,1]
=-1/3*(1/e-1)
=(e-1)/3e
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追问
呃 我们好像没这么学过 有别的方法吗？
追答
二重积分学过吗？
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