Question

若A,B,C为ABC的三个内角,试求sinA+sinB+sinC的最大值 说下怎么想的

Answer 1

相等的时候 就是都是60度 原理我想是 角A的变化设为a 对应其正弦sinA变化设为a' 首先 角不可能大于90 因为 sin 100 ==sin 80 有20度被浪费了(为什么出现浪费这个词 是因为 内角和为180 尽可能让每一个单位都为在正弦中做出最大话贡献) 然后也不可能小于0 所以 范围在0到90之间 第二部 : 假设一个角为90 另外2个为45 那么 可以得出一个 X =sinA+sinB+sinC 我们要做的是通过变动找到最大的X 换句话说当X对应的A B C无论怎么变化时都会使X变小 那么 就找到了最大的X 这里就用到微分了 A=90 B=45 C=45 把A的很小的一部分d分给B 则 A= 90-d B=45+b C=45 不变 A变小了 d*(sin A)' =d*cos A B 变大了d(*sin B)'=d *cosB (注意这里是有' 表示的是导数 别漏看了)一直这么做就可以得到经验只要2个角 sinA +sinB 小于 sin((A+B)/2)+ sin ((A+B)/2)所以就会一点点的变到60度 你只要在正当为正三角形时不论怎么变 X都会变小 你就能得到结论了

Answer 2

琴声不等式:sinA+sinB+sinC≤3sin[(A+B+C）/3]=(3√3)/2

Answer 3

楼主尝试用下琴声不等式 可以很容易哦