Question

线性代数计算题求解

可以写出过程么谢谢了

Answer 1

系数矩阵行列式 |A| =
|1 1 2|
|2 3 k|
|3 k 8|
|A| =
|1 1 2|
|0 1 k-4|
|0 k-3 2|
|A| = 2-(k-3)(k-4) = -k^2+7k-10 = -(k-2)(k-5)
当 k ≠ 2 且 k ≠ 5 时， |A| ≠ 0， 方程组有唯一解；
当 k = 5 时，增广矩阵 (A, b) =
[1 1 2 1]
[2 3 5 6]
[3 5 8 -1]
初等行变换为
[1 1 2 1]
[0 1 1 4]
[0 2 2 -4]
初等行变换为
[1 1 2 1]
[0 1 1 4]
[0 0 0 -12]
r(A, b) = 3， r(A) = 2 , 方程组无解；
当 k = 2 时，增广矩阵 (A, b) =
[1 1 2 1]
[2 3 2 3]
[3 2 8 2]
初等行变换为
[1 1 2 1]
[0 1 -2 1]
[0 -1 2 -1]
初等行变换为
[1 0 4 0]
[0 1 -2 1]
[0 0 0 0]
r(A, b) = r(A) = 2 < 3, 方程组有无穷多解， 方程组已化为
x1 = -4x3

x2 = 1+2x3
取 x3 = 0 得特解 (0，1，0)^T

导出组 是

x1 = -4x3

x2 = 2x3
取 x3 = 1 得基础解系 (-4，2，1)^T
此时通解是 x = k (-4，2，1)^T + (0，1，0)^T。